Eleuteri nasqué a Montserrat el 1908. Com generacions de xiquets, fou alumne del mestre Evarist Calatayud. Per motius laborals, la família es traslladà a Russafa per 1919-1920. Eleuteri estudià a l’Escola d’Arts i Oficis i a la reputada Acadèmia de Belles Arts de Sant Carles. Com tants altres artistes del moment, s’inicià professionalment en el camp de la publicitat i com a il·lustrador, o en les Falles. La República també significà una onada cultural sense precedents, amb un flux d’influències de les avantguardes europees. Bauset participà en l’ambient de la cultura valenciana més compromesa culturalment i políticament.

Durant la guerra, participà, juntament amb altres artistes valencians, com Josep Renau, en la Junta Delegada del Tresor Artístic, que intentava recuperar el patrimoni després de l’onada destructora de l’estiu del 1936. La seua defensa de la República es plasmà en una intensa producció cartellista, que forma part de la memòria visual de la guerra a la zona republicana; principalment, de la revolució llibertària o de les accions bèl·liques contra els civils. Per exemple Bombardeig, cartell exposat al pavelló espanyol de l’Exposició de París del 1937, al costat del Guernica de Picasso. Per això se l’inclou entre els artistes valencians més rellevants, com eren també Renau, Monleon, els germans Ballester i altres, els quals deixaren llur empremta en el cartellisme republicà.

L’auge del cartellisme s’emmarca en els canvis tecnològics de la segona revolució industrial, que augmentaren la capacitat productiva fabril. Amb aquesta, emergia una societat incipient de consum, de masses, en la qual els productes o l’oci (Toulouse-Lautrec) competien mitjançant la publicitat, gràcies a la premsa i a les tècniques innovadores, com l’òfset. La capacitat propagandística de la imatge, en un context d’implantació del cinema, feren possible l’extensió de l’ús, per part dels estats i de les forces polítiques, dels cartells. Així succeí durant la I Guerra Mundial i més avant, durant el comunisme i el feixisme. De fet, a la zona republicana s’arribaren a editar al voltant de 3.500 cartells.

La unió entre cultura i defensa de la República es feu efectiva amb l’ingrés de Bauset en les Milícies de la Cultura, quan fou mobilitzat per l’exèrcit. Després de la contesa, patí penes de presó franquista, durant les quals realitzà obres religioses. Excarcerat i, en vista del fosc panorama cultural, s’exilià a Llatinoamèrica (Veneçuela, Colòmbia, Mèxic, Costar Rica i set anys a Cuba) i als Estats Units, on fou un pintor de molt d’èxit. Traspassà a València el 1980.