Eleuterio nació en Montserrat en 1908. Como generaciones de niños, fue alumno del maestro Evaristo Calatayud. Por razones laborales, la familia se trasladó a Russafa por 1919-1920. Eleuterio estudió en la Escuela de Artes y Oficios y en la reputada Academia de Bellas Artes de San Carlos. Como tantos otros artistas del momento, se inició profesionalmente en el campo de la publicidad y como ilustrador o en las Fallas. La República también significó una oleada cultural sin precedentes, con un flujo de influencias de las vanguardias europeas. Bauset participó en el ambiente de la cultura valenciana más comprometida cultural y políticamente.

Durante la guerra, participó junto a otros artistas valencianos, como Josep Renau, en la Junta Delegada del Tesoro Artístico que intentaba recuperar el patrimonio después de la oleada destructora del verano de 1936. Su defensa de la República se plasmó en su intensa producción cartelista que forma parte de la memoria visual de la guerra en la zona republicana, principalmente de la revolución libertaria o de las acciones bélicas contra los civiles, como “Bombardeo”, expuesto en el Pabellón de España de la Exposición de París en 1937, junto al Guernica de Picasso. Por ello se incluye entre los artistas valencianos más relevantes como Renau, Monleón, los hermanos Ballester, etc. que dejaron su impronta en el cartelismo republicano

Este auge del cartelismo se enmarca en los cambios tecnológicos de la II Revolución Industrial que aumentaron la capacidad productiva industrial. Con ella, surgía una incipiente sociedad de consumo de masas en la que los productos o el ocio (Toulouse-Lautrec) competían a través de la publicidad gracias a la prensa y a técnicas novedosas como el ofset. La capacidad propagandística de la imagen, en un contexto de implantación del cine, hicieron posible la extensión del uso por parte de los estados y de las nuevas fuerzas políticas de los carteles, como sucedió durante la I Guerra Mundial y, más tarde, con el comunismo y el fascismo. De hecho, en la zona republicana se llegaron a editar alrededor de 3.500 carteles.

La unión entre cultura y defensa de la República se hizo efectiva con el ingreso de Bauset en las Milicias de la Cultura cuando fue movilizado por el Ejército. Después de la contienda, sufrió la prisión franquista en la que realizó obras religiosas. Excarcelado y ante el oscuro panorama cultural, se exilió a Latinoamérica (Venezuela, Colombia, México, Costa Rica y siete años en Cuba) y los Estados Unidos, donde fue un pintor de éxito. Murió en Valencia en 1980.